Trois tours de dichotomie

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · La dichotomie

Énoncé

Soit $g (x) = x^{3} - 3 x - 5$ sur $[2, 3]$ . Justifier l'existence d'une unique racine, puis appliquer trois tours de dichotomie.

Corrigé

Existence. $g$ est continue et $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 > 0$ sur $[2, 3]$ : strictement croissante. $g (2) = - 3 < 0$ et $g (3) = 13 > 0$ , d'où une unique racine $α$ dans $] 2, 3 [$ .

Tour 1. $m = 2, 5$ , $g (2, 5) = 15, 625 - 7, 5 - 5 = 3, 125 > 0$ : la racine est dans $[2; 2, 5]$ .

Tour 2. $m = 2, 25$ , $g (2, 25) = - 0, 359375 < 0$ : la racine est dans $[2, 25; 2, 5]$ .

Tour 3. $m = 2, 375$ , $g (2, 375) = 1, 271484375 > 0$ : la racine est dans $[2, 25; 2, 375]$ .

Bilan. L'amplitude est passée de $1$ à $0, 125$ , soit $1/ 2^{3}$ . Et $α \approx 2, 2790$ .

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