Un encadrement avec une racine

Pourquoi encadrer. Le terme $(-1{)}^n$ n'a pas de limite : il vaut alternativement $1$ et $-1$. On ne peut donc pas conclure par les opérations sur les limites. En revanche il est borné, ce qui autorise un encadrement.

L'encadrement. Pour tout $n\ge 1$, $-1\le (-1{)}^n\le 1$, et $\sqrt{n}>0$, donc

$$-\sqrt{n}\le (-1{)}^n\sqrt{n}\le \sqrt{n}.$$

En ajoutant $n$ aux trois membres, puis en divisant par $n+1$, qui est strictement positif et ne change donc pas le sens :

$$\frac{n-\sqrt{n}}{n+1}\le u_n\le \frac{n+\sqrt{n}}{n+1}.$$

Les deux limites. Divisons numérateur et dénominateur par $n$ :

$$\frac{n\pm \sqrt{n}}{n+1}=\frac{1\pm \frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{n}}.$$

Or $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ et $\frac{1}{n}\to 0$, donc les deux suites qui encadrent tendent vers $\frac{1}{1}=1$.

Conclusion. D'après le théorème d'encadrement, $u_n\to 1$.

Contrôle. $u_{100}=\frac{100+10}{101}\approx 1,089$ et $u_{101}=\frac{101-10,05}{102}\approx 0,892$ : la suite oscille bien autour de $1$, en se resserrant.

Le point à retenir. Quand un terme oscille, on ne calcule pas sa limite : on l'enferme entre deux suites qu'on sait traiter, et c'est l'encadrement qui conclut.