Un encadrement

Un encadrement

Compléments sur les suites et la continuité · Calculs de limites · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $v_{n} = \frac{n + ( - 1 ) ^{n}}{n}$ pour $n \geq 1$ . Encadrer $v_{n}$ , puis en déduire sa limite.

L'encadrement. Pour tout $n \geq 1$ , $- 1 \leq (- 1)^{n} \leq 1$ , donc

$\frac{n - 1}{n} \leq v_{n} \leq \frac{n + 1}{n}, c’est- a ˋ -dire 1 - \frac{1}{n} \leq v_{n} \leq 1 + \frac{1}{n} .$

La conclusion. Les deux bornes tendent vers $1$ . Par le théorème d'encadrement, $v_{n} \to 1$ .

Contrôle. $v_{1} = 0$ , $v_{2} = 1, 5$ , $v_{3} \approx 0, 667$ , $v_{10} = 1, 1$ : la suite oscille autour de $1$ en se resserrant.

Remarque. $(v_{n})$ n'est pas monotone : le théorème d'encadrement n'en demande pas.