Un parc d'abonnés qui se stabilise

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, bornes et convergence

Énoncé

Un opérateur conserve chaque année $80 %$ de ses abonnés et en gagne $30$ milliers de nouveaux. Il en compte $200$ milliers la première année : on pose $u_{0} = 200$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 30$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis déterminer la limite de la suite.

Corrigé

Le nombre que la relation laisse fixe. Cherchons $ℓ$ tel que $ℓ = 0, 8 ℓ + 30$ : cela donne $0, 2 ℓ = 30$ , donc $ℓ = 150$ .

La suite auxiliaire. Posons $v_{n} = u_{n} - 150$ . Alors

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 150 = 0, 8 u_{n} + 30 - 150 = 0, 8 u_{n} - 120 = 0, 8 (u_{n} - 150) = 0, 8 v_{n} .$

La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0, 8$ , de premier terme $v_{0} = 200 - 150 = 50$ .

L'expression. $v_{n} = 50 \times (0, 8)^{n}$ , donc

$u_{n} = 150 + 50 \times (0, 8)^{n} .$

Contrôle. La relation donne $u_{1} = 0, 8 \times 200 + 30 = 190$ , et la formule donne $150 + 50 \times 0, 8 = 190$ . Les deux coïncident.

La limite. Comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , la suite $((0, 8)^{n})$ tend vers $0$ , donc $u_{n} \to 150$ . Au passage, $50 \times (0, 8)^{n}$ est strictement positif et décroissant : la suite $(u_{n})$ décroît en restant toujours au-dessus de $150$ , sans jamais l'atteindre.

Lecture. Le parc se stabilise à $150$ milliers d'abonnés : c'est le niveau où les $20 %$ de départs, soit $30$ milliers, compensent exactement les $30$ milliers d'arrivées.

Le point à retenir. Pour une suite $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq = 1$ , on cherche d'abord le point que la relation laisse en place, puis on translate la suite pour la rendre géométrique.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.