Un parc d'abonnés qui se stabilise

Le nombre que la relation laisse fixe. Cherchons $\ell$ tel que $\ell =0,8\ell +30$ : cela donne $0,2\ell =30$, donc $\ell =150$.

La suite auxiliaire. Posons $v_n=u_n-150$. Alors

$$v_{n+1}=u_{n+1}-150=0,8u_n+30-150=0,8u_n-120=0,8(u_n-150)=0,8v_n.$$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$, de premier terme $v_0=200-150=50$.

L'expression. $v_n=50\times (0,8{)}^n$, donc

$$u_n=150+50\times (0,8{)}^n.$$

Contrôle. La relation donne $u_1=0,8\times 200+30=190$, et la formule donne $150+50\times 0,8=190$. Les deux coïncident.

La limite. Comme $-1<0,8<1$, la suite $((0,8{)}^n)$ tend vers $0$, donc $u_n\to 150$. Au passage, $50\times (0,8{)}^n$ est strictement positif et décroissant : la suite $(u_n)$ décroît en restant toujours au-dessus de $150$, sans jamais l'atteindre.

Lecture. Le parc se stabilise à $150$ milliers d'abonnés : c'est le niveau où les $20\%$ de départs, soit $30$ milliers, compensent exactement les $30$ milliers d'arrivées.

Le point à retenir. Pour une suite $u_{n+1}=a{u}_n+b$ avec $a\ne 1$, on cherche d'abord le point que la relation laisse en place, puis on translate la suite pour la rendre géométrique.