Un parc de machines qui se renouvelle

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, majoration et limite monotone

Énoncé

Un loueur possède $u_{0} = 500$ machines. Chaque année il en réforme $20 %$ et en achète $150$ : $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 150$ . Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ , montrer qu'elle est majorée par $750$ , déterminer sa limite, puis le rang à partir duquel le parc dépasse $740$ machines.

Corrigé

La majoration, par récurrence. Montrons que $u_{n} < 750$ pour tout entier $n \geq 0$ .

Initialisation. $u_{0} = 500 < 750$ .

Hérédité. Supposons $u_{n} < 750$ . Alors, en multipliant par $0, 8 > 0$ puis en ajoutant $150$ : $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 150 < 0, 8 \times 750 + 150 = 600 + 150 = 750.$

Conclusion. $u_{n} < 750$ pour tout $n$ .

Sens de variation. $u_{n + 1} - u_{n} = 0, 8 u_{n} + 150 - u_{n} = 150 - 0, 2 u_{n} = 0, 2 (750 - u_{n}) > 0,$ puisque $u_{n} < 750$ . La suite est strictement croissante : les achats l'emportent sur les réformes tant que le parc reste petit.

Convergence et limite. Croissante et majorée par $750$ , la suite converge (théorème de la limite monotone). Sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = 0, 8 ℓ + 150$ , soit $0, 2 ℓ = 150$ , donc $ℓ = 750$ — valeur compatible avec l'encadrement établi.

Le terme général. Posons $v_{n} = 750 - u_{n}$ . Alors $v_{n + 1} = 750 - (0, 8 u_{n} + 150) = 600 - 0, 8 u_{n} = 0, 8 (750 - u_{n}) = 0, 8 v_{n},$ donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 8$ et de premier terme $v_{0} = 250$ : $v_{n} = 250 \times (0, 8)^{n}$ , et $u_{n} = 750 - 250 \times (0, 8)^{n} .$

Le rang cherché. $u_{n} > 740$ équivaut à $250 \times (0, 8)^{n} < 10$ , c'est-à-dire $(0, 8)^{n} < 0, 04$ . Or $(0, 8)^{14} \approx 0, 0440$ et $(0, 8)^{15} \approx 0, 0352$ . Le parc dépasse donc $740$ machines à partir du rang $15$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.