Un point fixe forcé

Ramener l'égalité à une équation. Le théorème des valeurs intermédiaires parle d'une fonction qui prend une valeur, pas de deux quantités égales. On pose donc

$$g(x)=f(x)-x\text{sur }[0,1],$$

et l'égalité $f(c)=c$ devient $g(c)=0$. La fonction $g$ est continue sur $[0,1]$, comme différence de la fonction continue $f$ et de la fonction $x\mapsto x$, elle aussi continue.

Le signe aux deux bords. Par hypothèse $f(0)$ appartient à $[0,1]$, donc $f(0)\ge 0$ et

$$g(0)=f(0)-0=f(0)\ge 0.$$

De même $f(1)\le 1$, donc $g(1)=f(1)-1\le 0$.

Les cas de bord. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. Si $g(1)=0$, alors $c=1$ convient.

Le cas général. Sinon $g(0)>0$ et $g(1)<0$. Le nombre $0$ est alors compris entre $g(1)$ et $g(0)$ ; comme $g$ est continue sur $[0,1]$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit un réel $c$ de $\left]0,1\right[$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$.

Ce que l'énoncé ne dit pas. Rien n'assure l'unicité : la fonction $f(x)=x$ vérifie les hypothèses et tous les points de $[0,1]$ lui conviennent.

Le point à retenir. Le théorème des valeurs intermédiaires ne sait traiter qu'une équation de la forme « une fonction continue prend telle valeur ». Toute égalité entre deux expressions doit d'abord être poussée dans un seul membre : c'est le geste qui rend le théorème applicable.