Un prix d'équilibre

La fonction. Posons $f(p)=p^3+p-9$ sur $[0,+\infty [$. C'est une fonction polynomiale, donc continue sur cet intervalle.

La stricte croissance. $f^{\prime }(p)=3p^2+1>0$ pour tout $p$ : $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$.

L'existence. $f(0)=-9<0$ et $f(2)=8+2-9=1>0$. La fonction est continue sur $[0,2]$ et change de signe : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(p)=0$ a au moins une solution dans $\left]0,2\right[$.

L'unicité. $f$ étant strictement croissante sur $[0,+\infty [$ tout entier, elle ne peut prendre deux fois la valeur $0$. La solution positive est donc unique ; notons-la $p^{\ast }$.

Entre deux entiers. $f(1)=1+1-9=-7<0$ et $f(2)=1>0$, donc $1<p^{\ast }<2$.

Deux resserrements. Le milieu de $[1,2]$ est $1,5$ : $f(1,5)=3,375+1,5-9=-4,125<0$, donc $p^{\ast }\in \left]1,5;2\right[$.

Le milieu de ce nouvel intervalle est $1,75$ : $f(1,75)=5,359375+1,75-9=-1,890625<0$, donc

$$1,75<p^{\ast }<2,$$

encadrement d'amplitude $0,25$.

Le point à retenir. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence, la stricte monotonie donne l'unicité ; la dichotomie n'apporte ni l'une ni l'autre, elle ne fait que resserrer un intervalle déjà acquis.