Un seuil de rentabilité à localiser

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Existence et unicité d'une solution

Énoncé

Le résultat d'une entreprise, en milliers d'euros, est $R (q) = - q^{3} + 12 q - 10$ pour une production $q$ comprise entre $0$ et $2$ milliers d'unités. Montrer qu'il existe un unique seuil de rentabilité $q_{0} \in [0; 2]$ (production pour laquelle $R (q_{0}) = 0$ ) et l'encadrer à $0, 1$ près.

Corrigé

Continuité. $R$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0; 2]$ .

Stricte croissance. $R^{'} (q) = - 3 q^{2} + 12 = 3 (4 - q^{2})$ . Sur $[0; 2]$ , on a $0 \leq q^{2} \leq 4$ , donc $R^{'} (q) \geq 0$ , et $R^{'} (q) > 0$ pour $q < 2$ : $R$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ .

Changement de signe. $R (0) = - 10 < 0$ : sans production, on supporte les charges fixes. $R (2) = - 8 + 24 - 10 = 6 > 0$ . D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $R (q) = 0$ admet une unique solution $q_{0}$ dans $] 0; 2 [$ .

L'encadrement. On calcule de proche en proche : $R (0, 8) = - 0, 512 + 9, 6 - 10 = - 0, 912 < 0, R (0, 9) = - 0, 729 + 10, 8 - 10 = 0, 071 > 0.$ Donc $0, 8 < q_{0} < 0, 9$ .

Lecture économique. Il faut produire un peu plus de $800$ unités pour que le résultat devienne positif. En dessous, l'entreprise perd de l'argent ; au-dessus — et jusqu'à $q = 2$ , borne de validité du modèle — elle en gagne, et le résultat croît.

Contrôle. $R (0, 89) = - 0, 705 + 10, 68 - 10 = - 0, 025 < 0$ et $R (0, 90) = 0, 071 > 0$ : le seuil vaut environ $0, 8975$ millier d'unités, conforme à l'encadrement.

Le point délicat. La stricte croissance n'est vraie que sur $[0; 2]$ : au-delà, $R^{'}$ change de signe et le résultat rechute. Le modèle et l'intervalle vont ensemble ; conclure hors de l'intervalle n'aurait pas de sens.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.