Un taux de rendement

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Continuité et valeurs intermédiaires

Énoncé

Un investissement coûte $1000$ euros et rapporte $600$ euros dans un an et $600$ euros dans deux ans. Le taux de rendement $t$ est la solution de

$- 1000 + \frac{600}{1 + t} + \frac{600}{( 1 + t ) ^{2}} = 0.$

Montrer que $t$ existe et est unique pour $t > 0$ , puis le calculer.

Corrigé

Existence et unicité. Posons $V (t)$ le membre de gauche. Sur $] 0, + \infty [$ , $V$ est continue et strictement décroissante (les deux fractions décroissent). Or $V (0) = - 1000 + 600 + 600 = 200 > 0$ et $V (t) \to - 1000 < 0$ quand $t \to + \infty$ . Le corollaire du TVI, étendu aux limites au bord, donne une unique solution.

Le calcul. Posons $x = \frac{1}{1 + t}$ . L'équation devient $600 x + 600 x^{2} = 1000$ , soit $3 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ . Le discriminant vaut $9 + 60 = 69$ , et la seule racine positive est $x = \frac{- 3 + 69}{6} \approx 0, 884437$ .

Retour au taux. $t = \frac{1}{x} - 1 \approx 1, 130664 - 1 = 0, 130664$ , soit environ $13, 07 %$ .

Contrôle. $\frac{600}{1 , 130664} + \frac{600}{1 , 13066 4 ^{2}} = 530, 66 + 469, 34 = 1000$ : l'investissement est exactement remboursé.

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