Un tour de dichotomie

Le contrôle de démarrage. $f(2)=4-5=-1$ et $f(3)=9-5=4$. Le produit $f(2)f(3)=-4$ est strictement négatif : la condition est remplie, et $f$ étant continue, la racine $\alpha$ est bien dans $\left]2;3\right[$.

Tour 1. Le milieu est $m=\frac{2+3}{2}=2,5$, et $f(2,5)=6,25-5=1,25>0$. Comme $f(2)<0$, le changement de signe a lieu entre $2$ et $2,5$ : on remplace la borne droite, et $\alpha \in [2;2,5]$.

Tour 2. Le milieu est $m=2,25$, et $f(2,25)=5,0625-5=0,0625>0$. À nouveau le changement de signe est à gauche : $\alpha \in [2;2,25]$.

L'encadrement obtenu. $2\le \alpha \le 2,25$, d'amplitude $0,25$ — soit $\frac{1}{2^2}$ de l'amplitude initiale, conformément à la formule.

Contrôle. La racine cherchée est $\sqrt{5}\approx 2,2360$, qui appartient bien à $[2;2,25]$. On remarque que $2,25$ est déjà très proche : le troisième tour, avec $m=2,125$ et $f(2,125)=-0,484<0$, donnerait $[2,125;2,25]$.

Ce qu'il faut retenir. La dichotomie ne donne jamais la valeur exacte de $\alpha$ — ici $\sqrt{5}$ n'est pas décimal — mais un encadrement aussi fin qu'on le souhaite, au prix d'un tour par division de l'amplitude par deux.