Une bijection et sa réciproque

Croissance. $f(x)=1-\frac{1}{x+1}$, et $\frac{1}{x+1}$ décroît strictement sur $[0,+\infty [$ : donc $f$ croît strictement.

Intervalle image. $f(0)=0$ et $f(x)\to 1$ quand $x\to +\infty$, sans jamais atteindre $1$. L'image est donc $[0,1[$, et $f$ est une bijection de $[0,+\infty [$ sur $[0,1[$.

La réciproque. On résout $\frac{x}{x+1}=y$ : $x=y(x+1)$, soit $x(1-y)=y$, d'où $x=\frac{y}{1-y}$ (licite car $y<1$).

Contrôle. $f(3)=0,75$, et $\frac{0,75}{0,25}=3$. De même $f(1)=0,5$ et $f(4)=0,8$.