Une équation qui a exactement une solution

Continuité et stricte croissance. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée vaut $f^{\prime }(x)=3x^2+2$, somme d'un carré positif et de $2$ : elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Un intervalle de travail. $f(1)=1+2-4=-1<0$ et $f(2)=8+4-4=8>0$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue et strictement monotone, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left]1;2\right[$.

Pourquoi il n'y en a pas ailleurs. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier : elle prend chaque valeur au plus une fois. Comme elle prend la valeur $0$ dans $\left]1;2\right[$, elle ne peut plus la prendre ailleurs. L'unicité vaut donc sur $\mathbb{R}$, et pas seulement sur $[1;2]$.

L'encadrement. On calcule : $$f(1,1)=1,331+2,2-4=-0,469<0,f(1,2)=1,728+2,4-4=0,128>0.$$ Le signe change entre $1,1$ et $1,2$, donc $$1,1<\alpha <1,2.$$

Le point délicat. Le changement de signe donne l'existence ; c'est la stricte monotonie, et elle seule, qui donne l'unicité. Sans elle, une fonction continue peut changer de signe et couper l'axe plusieurs fois.