Une fonction et sa réciproque en un point

Stricte croissance. Soient $x_1<x_2$ deux réels. En multipliant par $2$, qui est positif, l'inégalité se conserve : $2x_1<2x_2$, puis en ajoutant $3$ aux deux membres, $2x_1+3<2x_2+3$, c'est-à-dire $f(x_1)<f(x_2)$. La fonction est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (On peut aussi invoquer $f^{\prime }(x)=2>0$.)

Une bijection. $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : chaque valeur $y$ est atteinte pour une valeur de $x$ et une seule. C'est ce qui autorise à « remonter » de $y$ vers $x$.

Le calcul. De $y=2x+3$ on tire $2x=y-3$, puis $$x=\frac{y-3}{2}.$$

Vérification en $x=4$. $f(4)=2\times 4+3=11$. En reportant $y=11$ dans l'expression trouvée : $\frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4$. On retombe bien sur le $x$ de départ.

Seconde vérification, dans l'autre sens. Partons de $y=0$ : l'expression donne $x=\frac{-3}{2}=-1,5$, et $f(-1,5)=-3+3=0$. Les deux calculs se défont mutuellement, ce qui est exactement ce qu'on attend d'une réciproque.

Ce qu'il faut retenir. Exprimer $x$ en fonction de $y$ n'est licite que lorsque chaque $y$ correspond à un seul $x$ — donc après avoir établi la stricte monotonie. Sans elle, l'égalité $y=x^2$ par exemple donnerait deux valeurs de $x$ pour un même $y$.