Une limite lue sur un tableau de valeurs

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Premières lectures sur les suites

Énoncé

Une suite $(u_{n})$ vérifie $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ avec $u_{0} = 20$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ , conjecturer la limite, puis la confirmer en résolvant l'équation vérifiée par cette limite, sachant que la suite est décroissante et minorée par $6$ .

Corrigé

Les premiers termes. $u_{1} = 0, 5 \times 20 + 3 = 13$ ; $u_{2} = 0, 5 \times 13 + 3 = 9, 5$ ; $u_{3} = 0, 5 \times 9, 5 + 3 = 7, 75$ ; $u_{4} = 0, 5 \times 7, 75 + 3 = 6, 875$ .

La conjecture. Les écarts à $6$ valent $14$ , $7$ , $3, 5$ , $1, 75$ , $0, 875$ : chacun est la moitié du précédent. Les termes descendent vers $6$ , et l'on conjecture $u_{n} \to 6$ .

La convergence, d'abord. L'énoncé fournit les deux hypothèses nécessaires : la suite est décroissante et minorée par $6$ . Le théorème de la limite monotone garantit alors qu'elle converge vers un réel $ℓ$ . C'est cette étape qui autorise la suivante.

L'identification de la limite. La limite vérifie l'équation obtenue en remplaçant $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ par $ℓ$ : $ℓ = 0, 5 ℓ + 3, soit 0, 5 ℓ = 3, donc ℓ = 6.$ La conjecture est confirmée : $u_{n} \to 6$ .

L'ordre des étapes. Écrire $ℓ = 0, 5 ℓ + 3$ sans avoir établi la convergence reviendrait à calculer la limite d'une suite qui n'en a peut-être pas. Le calcul du point fixe vient toujours après le théorème de la limite monotone, jamais avant.

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