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Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, bornes et convergence

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ . Montrer que $u_{n} = 4 - 3 \times (0, 5)^{n}$ , puis retrouver la limite de deux façons.

Corrigé

La formule. On vérifie par récurrence. Pour $n = 0$ : $4 - 3 = 1 = u_{0}$ . Si $u_{n} = 4 - 3 \times (0, 5)^{n}$ , alors

$u_{n + 1} = 0, 5 (4 - 3 \times (0, 5)^{n}) + 2 = 2 - 3 \times (0, 5)^{n + 1} + 2 = 4 - 3 \times (0, 5)^{n + 1} .$

Limite, première façon. $(0, 5)^{n} \to 0$ car $∣0, 5∣ < 1$ , donc $u_{n} \to 4$ .

Limite, seconde façon. La suite est croissante (l'écart à $4$ est divisé par deux) et majorée par $4$ : elle converge. Sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = 0, 5 ℓ + 2$ , d'où $ℓ = 4$ .

Contrôle. $u_{1} = 2, 5$ , $u_{2} = 3, 25$ , $u_{3} = 3, 625$ , et $4 - 3 \times 0, 125 = 3, 625$ .

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