Une racine entre deux entiers

Les trois valeurs. $f(1)=1+1-12=-10$ ; $f(2)=8+2-12=-2$ ; $f(3)=27+3-12=18$.

Le changement de signe. $f(2)=-2<0$ et $f(3)=18>0$ : la fonction change de signe entre $2$ et $3$. Entre $1$ et $2$, en revanche, les deux valeurs sont négatives.

La justification. $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, et $0$ est compris entre $f(2)$ et $f(3)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[2;3]$. Les deux entiers consécutifs cherchés sont donc $2$ et $3$.

L'unicité. $f^{\prime }(x)=3x^2+1$, somme d'un nombre positif et de $1$, est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $f$ est strictement croissante. Elle prend donc chaque valeur au plus une fois, et la solution est unique — non seulement dans $[2;3]$, mais dans $\mathbb{R}$ tout entier.

Contrôle. $f(2,2)=10,648+2,2-12=0,848>0$ et $f(2,1)=9,261+2,1-12=-0,639<0$ : la solution vaut environ $2,15$, bien située entre $2$ et $3$.

Ce qu'il faut retenir. Le changement de signe donne l'existence, la stricte monotonie donne l'unicité. Ce sont deux arguments distincts, et il en faut deux pour écrire « une unique solution ».