Une suite définie par une racine

Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, bornes et convergence · niveau 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . On admet que $0 \leq u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ . Montrer que $(u_{n})$ est croissante, puis déterminer sa limite.

Corrigé

Croissance. Pour $0 \leq u_{n} \leq 2$ , comparer $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ revient à comparer $u_{n} + 2$ et $u_{n}^{2}$ , car les deux nombres sont positifs. Or $u_{n} + 2 - u_{n}^{2} = - (u_{n} - 2) (u_{n} + 1) \geq 0$ sur $[0, 2]$ . Donc $u_{n + 1} \geq u_{n}$ .

Convergence. Croissante et majorée par $2$ , la suite converge.

La limite. Sa limite $ℓ$ appartient à $[0, 2]$ et vérifie $ℓ = ℓ + 2$ , donc $ℓ^{2} = ℓ + 2$ , soit $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ . Les racines sont $2$ et $- 1$ ; seule $ℓ = 2$ convient.

Contrôle. $u_{1} \approx 1, 414$ , $u_{2} \approx 1, 848$ , $u_{3} \approx 1, 962$ , $u_{4} \approx 1, 990$ .

Énoncé

Corrigé

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