Une suite majorée qui ne converge pas

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, majoration et limite monotone

Énoncé

Soit $u_{n} = (- 1)^{n} (1 - \frac{1}{n + 1})$ pour $n \geq 0$ . Montrer que $(u_{n})$ est bornée, puis expliquer pourquoi elle ne converge pas. La suite est-elle monotone ?

Corrigé

La suite est bornée. Pour tout $n \geq 0$ , on a $0 \leq 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ , et $(- 1)^{n}$ vaut $1$ ou $- 1$ . Donc $- 1 < u_{n} < 1 pour tout n .$ Elle est majorée par $1$ et minorée par $- 1$ : elle est bornée.

Elle n'est pas monotone. $u_{0} = 0$ , $u_{1} = - \frac{1}{2}$ , $u_{2} = \frac{2}{3}$ , $u_{3} = - \frac{3}{4}$ . La différence $u_{1} - u_{0}$ est négative et $u_{2} - u_{1}$ est positive : la suite descend puis monte, elle n'est ni croissante ni décroissante.

Elle ne converge pas. À partir du rang $2$ , on a $1 - \frac{1}{n + 1} \geq \frac{2}{3}$ , donc : $u_{n} \geq \frac{2}{3} si n est pair, u_{n} \leq - \frac{2}{3} si n est impair .$ Soit maintenant $ℓ$ un réel quelconque, et prenons l'intervalle ouvert $] ℓ - \frac{1}{2}; ℓ + \frac{1}{2} [$ , de longueur $1$ . Deux nombres qu'il contient diffèrent de moins de $1$ ; or un terme pair et un terme impair diffèrent d'au moins $\frac{4}{3} > 1$ . Cet intervalle ne peut donc pas contenir à la fois des termes pairs et des termes impairs de rang $\geq 2$ : il en laisse dehors une infinité. Aucun réel $ℓ$ ne vérifie la définition de la limite, donc $(u_{n})$ diverge.

Ce qu'il faut retenir. Être bornée ne suffit pas à converger : le théorème de la limite monotone exige aussi la monotonie : l'hypothèse n'est pas décorative.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.