Variations, bornes et limite d'un quotient

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, majoration et limite monotone

Énoncé

Soit $u_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 2}$ pour $n \geq 0$ . Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ , montrer qu'elle est bornée, puis déterminer sa limite.

Corrigé

Une écriture plus commode. On fait apparaître le dénominateur au numérateur : $u_{n} = \frac{3 ( n + 2 ) - 4}{n + 2} = 3 - \frac{4}{n + 2} .$

Sens de variation. On étudie le signe de la différence : $u_{n + 1} - u_{n} = (3 - \frac{4}{n + 3}) - (3 - \frac{4}{n + 2}) = \frac{4}{n + 2} - \frac{4}{n + 3} = \frac{4 ( ( n + 3 ) - ( n + 2 ) )}{( n + 2 ) ( n + 3 )} = \frac{4}{( n + 2 ) ( n + 3 )} .$ Ce quotient est strictement positif pour tout $n \geq 0$ : la suite est strictement croissante. On remarquera que le numérateur et le dénominateur croissent tous deux : c'est le calcul de la différence, et lui seul, qui décide du sens de variation.

Bornes. Comme $\frac{4}{n + 2} > 0$ , on a $u_{n} < 3$ pour tout $n$ : la suite est majorée par $3$ . Étant croissante, elle est minorée par son premier terme $u_{0} = \frac{2}{2} = 1$ . Elle est donc bornée : $1 \leq u_{n} < 3$ .

Limite. Croissante et majorée, elle converge (théorème de la limite monotone). Ici la valeur se lit directement sur l'écriture obtenue : $\frac{4}{n + 2} \to 0$ , donc $u_{n} \to 3$ .

Le point délicat. $3$ est un majorant et la limite, mais ce n'est pas un maximum : aucun terme ne vaut $3$ . Les trois mots désignent trois choses différentes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.