Ce qu'interdit une matrice non inversible

Non inversible. Le critère d'ordre $2$ donne $ad-bc=1\times 4-2\times 2=0$ : $A$ n'est pas inversible.

Une colonne annulée. Cherchons $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ avec $AX=0$, c'est-à-dire $x+2y=0$ et $2x+4y=0$. La seconde équation est le double de la première : il n'y a qu'une contrainte, $x=-2y$. En prenant $y=1$ : $$X=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\ne 0,AX=\left(\begin{array}{c}-2+2\\ -4+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

Le système sans solution. Le système $AX=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ s'écrit $x+2y=1$ et $2x+4y=0$. En doublant la première on obtient $2x+4y=2$, à comparer avec $2x+4y=0$ : il faudrait $2=0$. Le système est donc impossible.

Le lien entre les deux. C'est exactement ce que la non-inversibilité annonce : si $A$ était inversible, $X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ fournirait une solution, et elle serait unique. Ici, tantôt il n'y en a aucune (second membre $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$), tantôt il y en a une infinité (second membre nul, toutes les colonnes $\left(\begin{array}{c}-2t\\ t\end{array}\right)$ conviennent). Jamais une seule.