Ce que l'inversibilité interdit

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Inversibilité

Énoncé

Vérifier que $A = (2142)$ et $B = (2 - 1 - 4 2)$ vérifient $A B = 0$ , sans qu'aucune ne soit nulle.
Montrer que si $A$ est inversible et $A B = 0$ , alors $B = 0$ .
En déduire qu'une matrice nilpotente n'est jamais inversible.

Corrigé

1. Les quatre coefficients de $A B$ valent $2 \times 2 + 4 \times (- 1) = 0$ , $2 \times (- 4) + 4 \times 2 = 0$ , $1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 0$ et $1 \times (- 4) + 2 \times 2 = 0$ : donc $A B = 0$ alors que $A \neq = 0$ et $B \neq = 0$ . Au passage $det (A) = 4 - 4 = 0$ , et c'est ce qui rend la chose possible.

2. Multiplions $A B = 0$ à gauche par $A^{- 1}$ : $B = (A^{- 1} A) B = A^{- 1} (A B) = 0$ .

3. Soit $N$ nilpotente, disons $N^{p} = 0$ avec $p \geq 1$ . Si $N$ était inversible, alors $N \times N^{p - 1} = 0$ et le point 2 donnerait $N^{p - 1} = 0$ . En répétant l'argument on descendrait jusqu'à $N^{0} = I_{n} = 0$ , ce qui est faux. Donc $N$ n'est pas inversible.

La morale. Tout ce qu'on perd en passant des nombres aux matrices se retrouve dès qu'un facteur est inversible : l'inversibilité est exactement ce qui remplace « être non nul ».

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