Des puissances qui tournent en rond

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Puissances d'une matrice

Énoncé

Soit $A = (01 - 1 0)$ . Calculer $A^{2}$ , $A^{3}$ et $A^{4}$ . En déduire $A^{2026}$ et $A^{2027}$ , puis justifier que $A$ est inversible et donner $A^{- 1}$ .

Corrigé

Les premières puissances. $A^{2} = (01 - 1 0) (01 - 1 0) = (- 1 0 0 - 1) = - I_{2}$ . Puis $A^{3} = A^{2} \times A = - A = (0 - 1 10), A^{4} = (A^{2})^{2} = (- I_{2})^{2} = I_{2} .$

Le cycle. De $A^{4} = I_{2}$ on tire, pour tout entier $q \geq 0$ , $A^{4 q} = (A^{4})^{q} = I_{2}$ : les puissances se répètent de quatre en quatre.

Les deux valeurs demandées. $2026 = 4 \times 506 + 2$ , donc $A^{2026} = A^{4 \times 506} \times A^{2} = I_{2} \times (- I_{2}) = - I_{2} = (- 1 0 0 - 1) .$ De même $2027 = 4 \times 506 + 3$ , donc $A^{2027} = A^{3} = (0 - 1 10)$ .

Inversibilité. L'égalité $A^{4} = I_{2}$ s'écrit $A \times A^{3} = I_{2}$ et $A^{3} \times A = I_{2}$ : par définition, $A$ est inversible et $A^{- 1} = A^{3} = (0 - 1 10)$ .

Contrôle. $a d - b c = 0 \times 0 - (- 1) \times 1 = 1 \neq = 0$ , ce qui confirme l'inversibilité, et la formule de l'ordre $2$ donne bien $\frac{1}{1} (0 - 1 10)$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.