Deux équations matricielles à ne pas confondre

Ce qu'on a le droit d'employer. Ici $ad-bc=2-1=1\ne 0$, donc $A$ est inversible, d'inverse $$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right).$$

La première équation. De $AX=B$ on tire, en multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $A^{-1}AX=A^{-1}B$, soit $X=A^{-1}B$. Réciproquement cette matrice convient. Donc $$X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 3& 6\end{array}\right).$$

La seconde. De $YA=B$ on tire, en multipliant cette fois à droite par $A^{-1}$ : $Y=B{A}^{-1}$, soit $$Y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 4\end{array}\right).$$

Elles ne coïncident pas. $X\ne Y$, et il n'y a là rien d'étonnant : le produit n'étant pas commutatif, « diviser par $A$ » n'a pas de sens tant qu'on n'a pas dit de quel côté.

Contrôles. $AX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)=B$, et $YA=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)=B$.