Deux façons de monter en puissance

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Puissances d'une matrice

Énoncé

Calculer $D^{5}$ pour $D = (20 0 - 3)$ .
Soit $A = (2032)$ . Écrire $A = 2 I_{2} + N$ et calculer $A^{5}$ par le binôme.

Corrigé

1. $D$ est diagonale : on élève chaque coefficient diagonal à la puissance $5$ . Comme $2^{5} = 32$ et $(- 3)^{5} = - 243$ , $D^{5} = (320 0 - 243)$ .

2. Ici $N = (0030)$ et $N^{2} = 0$ . Comme $2 I_{2}$ commute avec $N$ , le binôme s'applique et se réduit à deux termes :

$A^{5} = (2 I_{2} + N)^{5} = 2^{5} I_{2} + 5 \times 2^{4} N = (32024032) .$

Pourquoi deux termes seulement. $N^{2} = 0$ annule tous les termes d'indice $k \geq 2$ : c'est ce qui rend le calcul faisable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.