Deux façons de monter en puissance

1. $D$ est diagonale : on élève chaque coefficient diagonal à la puissance $5$. Comme $2^5=32$ et $(-3{)}^5=-243$, $D^5=\left(\begin{array}{cc}32& 0\\ 0& -243\end{array}\right)$.

2. Ici $N=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $N^2=0$. Comme $2I_2$ commute avec $N$, le binôme s'applique et se réduit à deux termes :

$$A^5=(2I_2+N{)}^5=2^5{I}_2+5\times 2^{4}N=\left(\begin{array}{cc}32& 240\\ 0& 32\end{array}\right).$$

Pourquoi deux termes seulement. $N^2=0$ annule tous les termes d'indice $k\ge 2$ : c'est ce qui rend le calcul faisable.