Deux matrices, une seule inversible

Le critère. Une matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est inversible si et seulement si $ad-bc\ne 0$, et son inverse vaut alors $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Pour $A$. $ad-bc=2\times 3-6\times 1=0$ : $A$ n'est pas inversible. On le voit aussi directement, la seconde ligne étant la moitié de la première.

Pour $B$. $ad-bc=2\times 4-6\times 1=2\ne 0$ : $B$ est inversible, et $$B^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right).$$

Contrôle. $B{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& -6+6\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)=I_2$.

La leçon. Un seul coefficient a changé entre $A$ et $B$, et il a suffi à faire passer $ad-bc$ de $0$ à $2$ : l'inversibilité se joue sur ce nombre, pas sur l'allure de la matrice.