Inverse par résolution de AX = Y

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Systèmes linéaires et pivot de Gauss

Énoncé

Soit $A = 111121112$ . Résoudre $A X = Y$ pour $Y = (a; b; c)$ quelconque, et en déduire $A^{- 1}$ .

Corrigé

Le système. $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = a x + 2 y + z = b x + y + 2 z = c$

Élimination. $L_{2} - L_{1}$ donne $y = b - a$ , $L_{3} - L_{1}$ donne $z = c - a$ , puis $L_{1}$ donne $x = a - (b - a) - (c - a) = 3 a - b - c$ .

Lecture de l'inverse. Chaque inconnue s'écrit comme combinaison de $a$ , $b$ , $c$ ; les coefficients rangés en lignes donnent $A^{- 1} = 3 - 1 - 1 - 1 10 - 1 01$ .

Contrôle. $A \times A^{- 1}$ , première ligne fois première colonne : $1 \times 3 + 1 \times (- 1) + 1 \times (- 1) = 1$ . Deuxième ligne fois deuxième colonne : $1 \times (- 1) + 2 \times 1 + 1 \times 0 = 1$ . C'est $I_{3}$ .

Comparaison. Cette méthode et le pivot font les mêmes opérations ; la seule différence est qu'ici les seconds membres s'appellent $a$ , $b$ , $c$ au lieu d'être rangés dans un tableau à droite.

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