L'identité remarquable qui tombe

Ce qu'on va montrer. Que l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, vraie pour les nombres, tombe en défaut pour les matrices, et pourquoi.

Le premier calcul. $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$, donc $$(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right),$$ le coefficient en haut à gauche valant $2\times 2+2\times 3=10$.

Le second calcul. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$ et $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$, d'où $$A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 12& 4\end{array}\right).$$

Ils diffèrent : la diagonale passe de $10$ à $16$ et $4$.

D'où vient l'écart. En développant sans jamais échanger l'ordre des facteurs, $$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2.$$ Remplacer $AB+BA$ par $2AB$ suppose $AB=BA$. Or $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\ne AB$, et l'écart entre les deux résultats vaut exactement $AB-BA=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& -6\end{array}\right)$.

Conclusion. La seule formule toujours valable est $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ ; l'identité remarquable ordinaire n'est acquise que pour deux matrices qui commutent.