L'inverse d'un produit

Les deux inverses. Pour $A$, $ad-bc=6-5=1\ne 0$, donc $A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$. Pour $B$, $ad-bc=2\ne 0$, donc $B^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$.

Le produit et son inverse. $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 12& 2\end{array}\right)$, avec $ad-bc=14-12=2\ne 0$, donc $$(AB{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -12& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ -6& \frac{7}{2}\end{array}\right).$$

La première comparaison. $B^{-1}{A}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -12& 7\end{array}\right)$, qui est exactement $(AB{)}^{-1}$.

La seconde. $A^{-1}{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -1\\ -4& 3\end{array}\right)$, qui diffère : l'ordre compte.

Pourquoi. L'égalité $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ se démontre en une ligne : $$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=I,$$ et de même de l'autre côté. Le calcul n'a de sens que si $B^{-1}$ vient se loger entre $B$ et $A^{-1}$ : c'est ce qui impose l'inversion de l'ordre.