L'un n'a aucune solution, l'autre en a une infinité

Le pivot, mené une seule fois. Les deux systèmes ont la même matrice ; seul le dernier second membre change. Avec $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ : $$y-z=2\text{et}y-z=10-9=1\text{pour }(S_1),y-z=2\text{et}y-z=11-9=2\text{pour }(S_2).$$

Le premier système. La troisième ligne devient, après $L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $0=1-2=-1$. C'est faux, donc $(S_1)$ n'a aucune solution.

Le second. La même opération donne $0=0$ : la troisième équation n'apporte rien. Il reste $x+y+z=3$ et $y-z=2$. En prenant $z=t$ pour paramètre : $y=t+2$, puis $x=3-y-z=1-2t$. L'ensemble des solutions est $$\left\{\left(\begin{array}{c}1-2t\\ t+2\\ t\end{array}\right),t\in \mathbb{R}\right\},$$ c'est-à-dire une infinité de solutions.

Contrôle sur $(S_2)$, pour $t=1$ : $(x,y,z)=(-1,3,1)$ donne $-1+3+1=3$, $-2+9+1=8$ et $-3+12+2=11$. Les trois équations sont vérifiées.

Ce qu'on en déduit. Une matrice inversible donnerait, pour tout second membre, une solution et une seule. Ici un second membre en donne zéro et un autre une infinité : la matrice $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 3& 4& 2\end{array}\right)$ n'est donc pas inversible.