La matrice dont tous les coefficients valent un

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Produit matriciel et identités

Énoncé

Soit $J$ la matrice d'ordre $3$ dont les neuf coefficients valent $1$ . Calculer $J^{2}$ , puis démontrer que $J^{n} = 3^{n - 1} J$ pour tout entier $n \geq 1$ . En déduire $(I_{3} + J)^{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Corrigé

Le carré. Le coefficient $(i, j)$ de $J^{2}$ vaut $\sum_{k = 1}^{3} 1 \times 1 = 3$ : tous les coefficients de $J^{2}$ valent $3$ , c'est-à-dire $J^{2} = 3 J$ .

La formule des puissances, par récurrence. Au rang $n = 1$ , $3^{0} J = J$ : vrai. Supposons $J^{n} = 3^{n - 1} J$ . Alors $J^{n + 1} = J^{n} \times J = 3^{n - 1} J \times J = 3^{n - 1} \times 3 J = 3^{n} J,$ ce qui est la formule au rang $n + 1$ . Elle est donc vraie pour tout $n \geq 1$ .

Le binôme est-il permis ? Oui : $I_{3}$ commute avec toute matrice, donc en particulier avec $J$ , et la formule du binôme s'applique à $I_{3}$ et $J$ : $(I_{3} + J)^{n} = k = 0 \sum n (k n) J^{k} .$

On sépare le terme $k = 0$ . Il vaut $I_{3}$ . Pour $k \geq 1$ on remplace $J^{k}$ par $3^{k - 1} J$ : $(I_{3} + J)^{n} = I_{3} + (k = 1 \sum n (k n) 3^{k - 1}) J = I_{3} + \frac{1}{3} (k = 1 \sum n (k n) 3^{k}) J .$ Or $\sum_{k = 0}^{n} (k n) 3^{k} = (1 + 3)^{n} = 4^{n}$ , donc la somme sans le terme $k = 0$ vaut $4^{n} - 1$ . Finalement $(I_{3} + J)^{n} = I_{3} + \frac{4 ^{n} - 1}{3} J .$

Contrôle. Pour $n = 1$ : $I_{3} + \frac{3}{3} J = I_{3} + J$ . Pour $n = 2$ : $I_{3} + 5 J$ , et directement $(I_{3} + J)^{2} = I_{3} + 2 J + J^{2} = I_{3} + 2 J + 3 J = I_{3} + 5 J$ . Les deux coïncident.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.