Le carré et le cube d'une matrice d'ordre 2

Le carré. On multiplie $A$ par elle-même, ligne par colonne : $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-6& -2+0\\ 3+0& -6+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& -2\\ 3& -6\end{array}\right).$$ Le coefficient en haut à gauche vaut $1\times 1+(-2)\times 3=-5$.

Le cube. On multiplie $A^2$ par $A$ : $$A^3=\left(\begin{array}{cc}-5& -2\\ 3& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5-6& 10+0\\ 3-18& -6+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-11& 10\\ -15& -6\end{array}\right).$$

Contrôle. On peut refaire le cube dans l'autre ordre, $A\times A^2$ : $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& -2\\ 3& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-11& 10\\ -15& -6\end{array}\right)$. Les deux coïncident, comme il se doit puisque $A$ commute avec elle-même.