Le produit de deux matrices diagonales

Matrices carrées et inversibilité · Matrices diagonales et triangulaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Soient $D_{1}$ la matrice diagonale d'ordre $3$ de coefficients diagonaux $2$ , $- 3$ , $5$ , et $D_{2}$ celle de coefficients diagonaux $- 1$ , $4$ , $2$ . Calculer $D_{1} D_{2}$ et $D_{2} D_{1}$ .

Corrigé

Les deux matrices. $D_{1} = 200 0 - 3 0 005$ et $D_{2} = - 1 00 040002$ .

Le produit. Sur une ligne de $D_{1}$ , un seul coefficient est non nul, et sur une colonne de $D_{2}$ également : le produit ligne par colonne ne retient donc qu'un seul terme, et il est nul dès que la ligne et la colonne ne portent pas le même numéro. On obtient $D_{1} D_{2} = - 2 00 0 - 12 0 0010,$ les coefficients diagonaux étant $2 \times (- 1) = - 2$ , $(- 3) \times 4 = - 12$ et $5 \times 2 = 10$ .

L'autre ordre. Le même calcul donne les mêmes produits, dans le même ordre : $D_{2} D_{1} = D_{1} D_{2}$ .

Ce qu'il faut retenir. Deux matrices diagonales commutent toujours, et leur produit est la matrice diagonale des produits terme à terme. C'est ce qui rend les puissances d'une matrice diagonale si simples.

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