Le produit de deux matrices triangulaires

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Produit matriciel et identités

Énoncé

Soient $T = 200130 0 - 1 1$ et $U = 100 4 - 1 0 253$ . Calculer $T U$ et $U T$ . Que remarque-t-on sur le moule des résultats et sur leur diagonale ? Ces deux matrices sont-elles inversibles ?

Corrigé

Les deux produits. Ligne par colonne, $T U = 200 7 - 3 0 9123, U T = 200 13 - 3 0 - 2 63 .$ Par exemple le coefficient $(1, 2)$ de $T U$ vaut $2 \times 4 + 1 \times (- 1) + 0 \times 0 = 7$ , tandis que celui de $U T$ vaut $1 \times 1 + 4 \times 3 + 2 \times 0 = 13$ .

Le moule est conservé. Les deux produits sont encore triangulaires supérieurs. Ce n'est pas un hasard : le coefficient $(i, j)$ d'un produit est $\sum_{k} t_{ik} u_{k j}$ , et si $i > j$ chaque terme contient soit $t_{ik}$ avec $k < i$ , soit $u_{k j}$ avec $k > j$ ; l'un des deux facteurs est donc toujours nul.

La diagonale se multiplie terme à terme. $2 = 2 \times 1$ , $- 3 = 3 \times (- 1)$ , $3 = 1 \times 3$ : les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux, et ce dans les deux ordres — c'est pourquoi $T U$ et $U T$ , bien que différents, ont la même diagonale.

Inversibilité. Par le critère des matrices triangulaires, $T$ et $U$ sont inversibles : aucun de leurs coefficients diagonaux n'est nul.

Conclusion. Le produit de deux triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, de diagonale le produit des diagonales — mais l'ordre des facteurs change tout le reste.

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