Les matrices qui commutent avec une matrice donnée

Ce qu'on montre. Les matrices qui commutent avec $A$ sont exactement les combinaisons de $I_2$ et de $A$.

Les deux produits. Ligne par colonne, $$AM=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right),MA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right).$$

L'identification. Deux matrices sont égales lorsque leurs quatre coefficients le sont : $a+c=a$ donne $c=0$ ; $b+d=a+b$ donne $d=a$ ; $d=c+d$ redonne $c=0$. Le coefficient $b$ n'est soumis à aucune contrainte.

Conclusion. Les matrices cherchées sont les $$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)=a{I}_2+b(A-I_2),a,b\in \mathbb{R}.$$ Vérification pour $a=1$, $b=3$ : $AM=MA=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Le point à retenir. La commutation n'est pas une curiosité : c'est l'hypothèse exacte du binôme. Avant d'écrire $(A+B{)}^p$, on vérifie $AB=BA$, et ce calcul d'identification est la façon de le faire.