Les puissances d'une matrice diagonale

La règle. Élever une matrice diagonale à la puissance $n$, c'est élever chacun de ses coefficients diagonaux à la puissance $n$ : le produit ligne par colonne ne fait jamais se rencontrer deux coefficients de rangs différents.

Les deux puissances demandées. $$D^4=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 16& 0\\ 0& 0& 81\end{array}\right),D^5=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 32& 0\\ 0& 0& 243\end{array}\right),$$ puisque $(-1{)}^4=1$, $2^4=16$, $3^4=81$, puis $(-1{)}^5=-1$, $2^5=32$, $3^5=243$.

Le cas général. Pour tout entier $n\ge 1$, $$D^n=\left(\begin{array}{ccc}(-1{)}^n& 0& 0\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 0& 3^n\end{array}\right).$$

Le détail qui compte. Le premier coefficient alterne entre $1$ et $-1$ selon la parité de $n$ ; on écrit $(-1{)}^n$, et non $-1$.