Les puissances d'une matrice diagonale

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Puissances élémentaires

Énoncé

Soit $D$ la matrice diagonale d'ordre $3$ de coefficients diagonaux $- 1$ , $2$ et $3$ . Calculer $D^{4}$ et $D^{5}$ , puis donner $D^{n}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Corrigé

La règle. Élever une matrice diagonale à la puissance $n$ , c'est élever chacun de ses coefficients diagonaux à la puissance $n$ : le produit ligne par colonne ne fait jamais se rencontrer deux coefficients de rangs différents.

Les deux puissances demandées. $D^{4} = 10001600081, D^{5} = - 1 00 032000243,$ puisque $(- 1)^{4} = 1$ , $2^{4} = 16$ , $3^{4} = 81$ , puis $(- 1)^{5} = - 1$ , $2^{5} = 32$ , $3^{5} = 243$ .

Le cas général. Pour tout entier $n \geq 1$ , $D^{n} = (- 1)^{n} 00 0 2^{n} 0 00 3^{n} .$

Le détail qui compte. Le premier coefficient alterne entre $1$ et $- 1$ selon la parité de $n$ ; on écrit $(- 1)^{n}$ , et non $- 1$ .

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