Les puissances par le binôme, à l'ordre 3

Ce qu'on montre. $N$ est nilpotente d'ordre $3$, ce qui réduit le binôme à trois termes.

Les puissances de $N$. Par différence, $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, puis $$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=N^2\times N=0.$$ Le seul coefficient non nul de $N^2$ vient de la première ligne de $N$ multipliée par sa troisième colonne : $0\times 1+1\times 1+1\times 0=1$.

Le binôme. $A=I_3+N$, et $I_3$ commute avec tout : l'hypothèse est vérifiée. Comme $N^k=0$ dès que $k\ge 3$, la somme s'arrête au deuxième terme : $$A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& n& n+\frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Contrôles. Pour $n=1$, le coin haut droit vaut $1+0=1$ : on retrouve $A$. Pour $n=2$ il vaut $2+1=3$, et le produit $A\times A$ donne bien $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Le point à retenir. Une matrice triangulaire à diagonale constante $\lambda$ s'écrit $\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente. Le binôme devient alors une somme FINIE, dont le nombre de termes est l'ordre de nilpotence.