Opérations et non-commutativité

Somme et combinaison. $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$, case par case. Puis $2A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 6& 0\end{array}\right)$ et $3B=\left(\begin{array}{cc}3& 12\\ -6& 15\end{array}\right)$, donc $2A-3B=\left(\begin{array}{cc}1& -14\\ 12& -15\end{array}\right)$.

Produits. Ligne par colonne, $AB=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 12\end{array}\right)$ et $BA=\left(\begin{array}{cc}14& -1\\ 11& 2\end{array}\right)$ ; le coefficient en haut à gauche de $AB$ vaut $2\times 1+(-1)\times (-2)=4$.

Conclusion. $AB\ne BA$ : le produit n'est pas commutatif, et les deux résultats n'ont ici pas un seul coefficient en commun.