Parts de marché

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Puissances d'une matrice

Énoncé

Deux enseignes se partagent $1000$ clients. Chaque mois, $10 %$ des clients de la première passent à la seconde, et $20 %$ de la seconde passent à la première. On pose $M = (0, 9 0, 1 0, 2 0, 8)$ et $X_{0} = (500500)$ . Calculer $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ et commenter.

Corrigé

Trois mois. $X_{1} = M X_{0} = (0, 9 \times 500 + 0, 2 \times 500 0, 1 \times 500 + 0, 8 \times 500) = (550450)$ , puis $X_{2} = (495 + 90 55 + 360) = (585415)$ et $X_{3} = (526, 5 + 83 58, 5 + 332) = (609, 5 390, 5)$ .

Commentaire. Le total reste $1000$ , car chaque colonne de $M$ somme à $1$ . La première enseigne gagne des clients de moins en moins vite : $+ 50$ , puis $+ 35$ , puis $+ 24, 5$ . Elle s'approche de la répartition qui ne bouge plus, celle où $0, 1 x = 0, 2 y$ avec $x + y = 1000$ , soit environ $667$ et $333$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.