Pivot de Gauss à l'ordre 3

Le tableau augmenté. On part de $\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 1& 0\\ 1& 2& 2& 0& 0& 1\end{array}\right)$, et $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1& 1& 0\\ 0& 1& 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$. Puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1& 1\end{array}\right)$.

Remontée. $L_1\leftarrow L_1-L_3$ puis $L_1\leftarrow L_1-L_2$ : $\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& 0& -1\\ 0& 1& 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& -1& 1\end{array}\right)$, d'où $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$.

Contrôle. Première ligne de $A$ fois première colonne de $A^{-1}$ : $1\times 2+1\times (-1)+1\times 0=1$ ; deuxième ligne fois première colonne : $1\times 2+2\times (-1)+1\times 0=0$. C'est bien $I_3$.