Résoudre un système par l'inverse

Forme matricielle. Le système s'écrit $AX=B$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right).$$

L'inverse. Ici $ad-bc=2\times 2-3\times 1=1$, non nul : $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right).$$

La solution. En multipliant $AX=B$ à gauche par $A^{-1}$ : $$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14-12\\ -7+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$

Contrôle. $2\times 2+3\times 1=7$ et $2+2\times 1=4$ : les deux équations sont vérifiées. La solution est unique, comme toujours lorsque la matrice du système est inversible.