Trois ateliers, trois heures

Matrices carrées et inversibilité · Systèmes linéaires et pivot de Gauss · niveau 2

Énoncé

Une usine fabrique trois pièces en quantités $x$ , $y$ , $z$ . Les temps de passage dans les trois ateliers donnent le système

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 220 x + 2 y + z = 240 x + y + 2 z = 260$

Écrire ce système sous la forme $A X = Y$ . Vérifier que $B = \frac{1}{4} 3 - 1 - 1 - 1 3 - 1 - 1 - 1 3$ est l'inverse de $A$ , puis résoudre.

Corrigé

Écriture matricielle. $A X = Y$ avec $A = 211121112$ , et $X = (x; y; z)$ , $Y = (220; 240; 260)$ écrits en colonnes.

Vérification. Première ligne de $A$ fois première colonne de $4 B$ : $2 \times 3 + 1 \times (- 1) + 1 \times (- 1) = 4$ ; fois la deuxième : $2 \times (- 1) + 1 \times 3 + 1 \times (- 1) = 0$ . En poursuivant, $A \times 4 B = 4 I_{3}$ , donc $A B = I_{3}$ .

Résolution. $X = B Y$ donne $x = \frac{1}{4} (3 \times 220 - 240 - 260) = 40$ , $y = \frac{1}{4} (- 220 + 3 \times 240 - 260) = 60$ et $z = \frac{1}{4} (- 220 - 240 + 3 \times 260) = 80$ .

Contrôle. $2 (40) + 60 + 80 = 220$ et $40 + 2 (60) + 80 = 240$ .

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables