Trois coffrets, trois stocks

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Systèmes linéaires

Énoncé

Une chocolaterie assemble trois coffrets. Le premier contient $2$ chocolats noirs, $1$ au lait et $1$ blanc ; le deuxième $1$ , $3$ et $1$ ; le troisième $1$ , $1$ et $4$ . On dispose de $190$ chocolats noirs, $250$ au lait et $330$ blancs, et l'on veut tout écouler. Écrire le système sous forme matricielle, puis le résoudre par le pivot de Gauss.

Corrigé

Mise en équations. Notons $x$ , $y$ , $z$ les nombres de coffrets de chaque type. Chaque sorte de chocolat donne une équation : $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 190 x + 3 y + z = 250 x + y + 4 z = 330 soit 211131114 x y z = 190250330 .$

Le pivot. On échange $L_{1}$ et $L_{2}$ pour placer un pivot égal à $1$ : $x + 3 y + z = 250$ ; $2 x + y + z = 190$ ; $x + y + 4 z = 330$ . Puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ : $- 5 y - z = - 310, - 2 y + 3 z = 80.$ Enfin $L_{3} \leftarrow 5 L_{3} - 2 L_{2}$ : $17 z = 400 + 620 = 1020$ , donc $z = 60$ .

Remontée. De $- 5 y - 60 = - 310$ on tire $y = 50$ ; puis $x = 250 - 3 \times 50 - 60 = 40$ .

Contrôle. $2 \times 40 + 50 + 60 = 190$ , $40 + 3 \times 50 + 60 = 250$ , $40 + 50 + 4 \times 60 = 330$ : les trois stocks sont exactement épuisés.

Conclusion. Il faut assembler $40$ coffrets du premier type, $50$ du deuxième et $60$ du troisième.

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