Trois fois l'identité, plus une matrice nilpotente

La matrice $N$. $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 0& 0& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Alors $$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 8\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=N^2\times N=0,$$ le seul coefficient non nul de $N^2$ étant $2\times 4=8$, et la ligne correspondante de $N$ étant nulle.

Le binôme s'applique. $3I_3$ et $N$ commutent, car $I_3$ commute avec tout. Donc, pour $n\ge 3$ : $$A^n=(3I_3+N{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(3I_3{)}^{n-k}{N}^k.$$

La somme s'arrête à $k=2$. Tous les termes d'indice $k\ge 3$ contiennent $N^k=N^{k-3}{N}^3=0$. Il reste trois termes : $$A^n=3^n{I}_3+n{3}^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}{3}^{n-2}{N}^2.$$

En coefficients. En remplaçant $N$ et $N^2$ : $$A^n=\left(\begin{array}{ccc}{3}^n& 2n{3}^{n-1}& n{3}^{n-1}+4n(n-1)3^{n-2}\\ 0& 3^n& 4n{3}^{n-1}\\ 0& 0& 3^n\end{array}\right).$$

Contrôle pour $n=1$ (la formule vaut en fait dès $n=1$) : on obtient $\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 3\end{array}\right)=A$, puisque le terme en $n(n-1)$ s'annule. Pour $n=2$, le coefficient $(1,3)$ vaut $2\times 3+4\times 2=14$, et le calcul direct de $A^2$ donne bien $3\times 1+2\times 4+1\times 3=14$.