Un carré proportionnel à la matrice

Le carré. $A^2=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+4\cdot 1& 2\cdot 4+4\cdot 2\\ 1\cdot 2+2\cdot 1& 1\cdot 4+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 16\\ 4& 8\end{array}\right)$, et $4A=\left(\begin{array}{cc}8& 16\\ 4& 8\end{array}\right)$ : l'égalité $A^2=4A$ est vérifiée coefficient par coefficient.

Les puissances, par récurrence. Montrons $A^n=4^{n-1}A$ pour $n\ge 1$. Au rang $1$, $4^{0}A=A$. Si $A^n=4^{n-1}A$, alors $$A^{n+1}=A^n\times A=4^{n-1}{A}^2=4^{n-1}\times 4A=4^{n}A,$$ où l'on a remplacé $A^2$ par $4A$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n\ge 1$.

Contrôle. Pour $n=2$ : $4A=\left(\begin{array}{cc}8& 16\\ 4& 8\end{array}\right)=A^2$. Pour $n=3$ : $16A=\left(\begin{array}{cc}32& 64\\ 16& 32\end{array}\right)$, et $A^3=A^2\times A=\left(\begin{array}{cc}8& 16\\ 4& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}32& 64\\ 16& 32\end{array}\right)$.

Inversibilité. Ici $ad-bc=2\times 2-4\times 1=0$ : $A$ n'est pas inversible.

Le point délicat. On serait tenté de simplifier $A^2=4A$ par $A$ pour conclure $A=4I_2$, ce qui est faux. Simplifier suppose $A$ inversible — et elle ne l'est justement pas.