Un pivot qui s'arrête

Ce qu'on montre. Le pivot s'arrête sur une ligne nulle : le système a une infinité de solutions, donc sa matrice n'est pas inversible.

Le pivot. On garde $L_1$ et l'on élimine $x$ : $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $y-z=2$, et $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ donne $y-z=2$. Les deux lignes sont identiques ; $L_3\leftarrow L_3-L_2$ laisse $0=0$. Le pivot ne peut descendre plus bas.

Les solutions. Restent deux équations pour trois inconnues : $x+y+z=1$ et $y-z=2$. En prenant $z=t$ réel, $y=2+t$ puis $x=1-y-z=-1-2t$. L'ensemble des solutions est $$\{(-1-2t,2+t,t):t\in \mathbb{R}\},$$ une infinité de triplets.

Vérification. Pour $t=0$ : $(-1,2,0)$ donne $1$, $4$ et $5$. Pour $t=1$ : $(-3,3,1)$ donne $1$, $4$ et $5$.

Ce qu'on en déduit. Si la matrice $A$ du système était inversible, $AX=Y$ aurait pour unique solution $X=A^{-1}Y$. Il y en a une infinité : $A$ n'est pas inversible. On voit d'ailleurs que sa troisième ligne est la somme des deux premières.

Le point à retenir. Le pivot ne sert pas qu'à résoudre : une ligne devenue nulle prouve la non-inversibilité, et une ligne du type « $0=3$ » prouve l'incompatibilité.