Un système à un paramètre

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Systèmes linéaires et pivot de Gauss

Énoncé

Soit $m$ un réel et $A_{m} = (13 2 m)$ . Pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_{m}$ est-elle inversible ? Résoudre alors le système $x + 2 y = 1$ , $3 x + m y = 4$ en fonction de $m$ , puis dire ce qui se passe pour la valeur exclue.

Corrigé

Ce qu'on montre. Le paramètre décide de l'inversibilité, et l'inversibilité décide du nombre de solutions.

Inversibilité. Par le critère de l'ordre $2$ , $A_{m}$ est inversible si et seulement si $a d - b c = m - 6 \neq = 0$ , c'est-à-dire $m \neq = 6$ .

Résolution pour $m \neq = 6$ . Le système s'écrit $A_{m} X = Y$ avec $Y = (14)$ , donc $X = A_{m}^{- 1} Y$ et $A_{m}^{- 1} = \frac{1}{m - 6} (m - 3 - 2 1), X = \frac{1}{m - 6} (m - 8 1) .$ La solution est unique : $x = \frac{m - 8}{m - 6}$ et $y = \frac{1}{m - 6}$ .

Vérification. $x + 2 y = \frac{m - 8 + 2}{m - 6} = 1$ et $3 x + m y = \frac{3 m - 24 + m}{m - 6} = \frac{4 m - 24}{m - 6} = 4$ .

Le cas exclu. Pour $m = 6$ , le système devient $x + 2 y = 1$ et $3 x + 6 y = 4$ : la seconde ligne est trois fois la première à gauche mais pas à droite, et imposerait $3 = 4$ . Aucune solution.

Le point à retenir. Matrice inversible : une solution et une seule, quel que soit le second membre. Matrice non inversible : tout dépend du second membre — aucune solution, ou une infinité.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.