Un système d'ordre 3 qui dépend d'un paramètre

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Systèmes linéaires

Énoncé

Soit $m$ un réel. Résoudre, en discutant selon $m$ , le système

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 x + 2 y + 4 z = 3 x + 3 y + m z = 6$

Corrigé

Premier étage du pivot. Avec $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ , le système devient $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 y + 3 z = 2 2 y + (m - 1) z = 5$

Second étage. $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{2}$ élimine $y$ : $(m - 1 - 6) z = 5 - 4, soit (m - 7) z = 1.$ C'est cette seule équation qui porte toute la discussion.

Cas $m = 7$ . Elle s'écrit $0 = 1$ : le système n'a aucune solution.

Cas $m \neq = 7$ . On tire $z = \frac{1}{m - 7}$ , puis $y = 2 - 3 z = \frac{2 m - 17}{m - 7}$ , et enfin $x = 1 - y - z = 1 - \frac{2 m - 17}{m - 7} - \frac{1}{m - 7} = \frac{( m - 7 ) - ( 2 m - 17 ) - 1}{m - 7} = \frac{9 - m}{m - 7} .$ La solution est unique.

Contrôle pour $m = 5$ . La formule donne $z = - \frac{1}{2}$ , $y = \frac{7}{2}$ , $x = - 2$ . Vérification : $- 2 + \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 1$ ; $- 2 + 7 - 2 = 3$ ; $- 2 + \frac{21}{2} - \frac{5}{2} = 6$ . Les trois équations sont satisfaites.

Conclusion. Le système a une solution unique si et seulement si $m \neq = 7$ — et c'est aussi la condition pour que sa matrice soit inversible, puisqu'une matrice inversible donne toujours une solution et une seule.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.