Une matrice dont le cube vaut l'identité

Ce qu'on montre. Une relation du type $A^3=I_3$ donne l'inverse sans aucun pivot, et rend les puissances périodiques.

Les deux puissances. Multiplier par $A$ permute les colonnes : la première va sur la deuxième, la deuxième sur la troisième, la troisième sur la première. Ligne par colonne, $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right),A^3=A\times A^2=I_3.$$

L'inversibilité. On a $A\times A^2=I_3$ et $A^2\times A=I_3$ — les deux produits sont nécessaires par définition de l'inverse. Donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$

La grande puissance. La division euclidienne donne $2026=3\times 675+1$, donc $A^{2026}=(A^3{)}^{675}\times A=A$.

Le point à retenir. Dès qu'une relation exprime $I_n$ comme un produit où $A$ figure, l'inverse se lit sans calcul ; et une relation $A^p=I_n$ ne laisse compter que le reste de la division par $p$.