Une relation qui donne l'inverse

Matrices carrées et inversibilité · Inversibilité · niveau 2

Énoncé

Soit $A = (0121)$ . Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2} = A + 2 I_{2}$ . En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{- 1}$ , puis retrouver le résultat par la formule de l'ordre $2$ .

Corrigé

Le carré. $A^{2} = (2123)$ , et $A + 2 I_{2} = (0121) + (2002)$ vaut la même chose.

L'inverse. De $A^{2} - A = 2 I_{2}$ on tire $A (A - I_{2}) = 2 I_{2}$ , donc $A \times \frac{1}{2} (A - I_{2}) = I_{2}$ : $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (A - I_{2}) = \frac{1}{2} (- 1 1 20)$ .

Par la formule. $det (A) = 0 \times 1 - 2 \times 1 = - 2 \neq = 0$ , donc $A^{- 1} = \frac{1}{- 2} (1 - 1 - 2 0) = (- 0, 5 0, 5 10)$ : c'est bien la même matrice.

Ce qu'il faut retenir. Une relation « $A^{2} = α A + β I$ » avec $β \neq = 0$ donne toujours l'inverse par factorisation : ce sera l'outil central du chapitre sur la réduction.

Énoncé

Corrigé

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