Une triangulaire est-elle inversible ?

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 — Matrices carrées et inversibilité · Matrices diagonales et triangulaires

Énoncé

Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible en justifiant.

$T_{1} = 200750 - 1 34, T_{2} = 38 - 1 006002$

Corrigé

Le critère employé. Une matrice triangulaire — supérieure ou inférieure — est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n'est nul.

La première. $T_{1}$ est triangulaire supérieure (tout est nul sous la diagonale). Sa diagonale porte $2$ , $5$ et $4$ : aucun zéro, donc $T_{1}$ est inversible.

La seconde. $T_{2}$ est triangulaire inférieure (tout est nul au-dessus de la diagonale). Sa diagonale porte $3$ , $0$ et $2$ : le coefficient central est nul, donc $T_{2}$ n'est pas inversible.

Le piège. On regarde la diagonale, et elle seule : le $8$ et le $6$ , si gros soient-ils, ne changent rien. Inversement, une matrice quelconque dont la diagonale ne contient pas de zéro n'a aucune raison d'être inversible — le critère ne vaut que pour les triangulaires.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.